次の拡散方程式（非線形項あり）の解f=f(t,x)がわかったら教えてください。特解でもかまいません。
D_t f = (D_x)^2 f + k * f * D_x f
fは、t>0かつ-∞<x<∞で定義されたなめらかな実数値関数、kは正の定数です。D_tはtによる偏微分、D_xはxによる偏微分を表します。（弱電離プラズマの振る舞いを調べていたら、この方程式が出てきました。）
いま、わかっていることを参考までに書きます。たとえば、初期波形として（振幅の大きな）正弦波を選んでみます。直感的には、時間が経つにつれ、右上がりの坂はどんどん急に、右下がりの坂はどんどんなだらかになって、ノコギリ波のようにひずみながら崖の高さは高くなる。そのひずむスピードと、拡散の効果でぼやけていくスピードとが競争する、というイメージの解になりそうです。
※ 有料アンケート・ポイント付き質問機能は2023年2月28日に終了しました。
ログインして回答する
ベストアンサー
-
ita
満足100pt
fを1/k倍にスケールすると係数を1に出来るのでk=1で考えればいいですね。
それで
f=-(x-x0)/(t-t0) という解を見つけました。
-
LaLaLa
-
LaLaLaその他の回答
この質問へのコメント
質問の情報
- 登録日時
- 2007-11-20 12:28:11
- 終了日時
- 2007-11-23 01:08:08
- 回答条件
- 1人5回まで
この質問のカテゴリ
この質問に含まれるキーワード
人気の質問
-
今、ネットの友達とアニメを作っています。 その際に登場するキャラクターに音声を入れたいのですが、さす…
匿名質問者
1
1
-
小池百合子氏 落選運動を郷原弁護士が始めた様です。 https://www.youtube.com/watch?v=J7wU8_3ZBho ➡ク…匿名質問者21
1
-
写真を加工するアプリで加工した写真にそのアプリのロゴが入っていて気づかずTシャツなどにして売ると商品…
decunli11
-
交響曲のライブ録音ではあ？ てゆうくらいの雑音が収録されているcd教えて下さい…
山田生活1
-
幻想交響曲のライブ録音は拍手があったほうがいいですかなかった方が良いですか …山田生活
自明な定常解として f=A (const) があり、これに摂動 δexp(ikx) , δ<<Aを加えると
[tex:f=A+\delta\exp(ikx+t(-k^2+ikKA))]となり摂動が振動しつつ減衰します。
非線形項f * D_x fが効く場合に興味があるのですが、「定常解を考えてみる」という大きなヒントをいただきました。調べてみると、反比例(y=c/x)の形の定常解があるようです。この定常解はx=0で不連続になっていますが、興味があるのは、はじめ連続だった関数が、時間がたつにつれて反比例(y=c/x)の形に近づいていく様子です。そのあたり、なにかお気づきになりましら、よろしくお願いします。
LaLaLaが気付いたことを追加します。初期波形とそのx微分がx→±∞で0に近づく場合には、定積分 V(t) = int_{-∞}^{+∞} f(t,x) dx がtによらず一定になるようです。