相談室の待ち行列理論の問題です。
相談件数は平均4件/60分 , 平均相談時間 14分/件 ,相談窓口 1個とすると、
待ち行列理論 M/M/1 によれば、相談窓口の使用率は 14分x4件/60分 = 93%
平均待ち時間 = 0.93/(1-0.93) x 14分 = 186分 となります。
待ち行列理論によると、このケースでの平均待ち時間は約３時間となるのですが、
あまりに長い時間なので、感覚的に違和感があります。どこか考え方が間違っていないか指摘お願いします。
１時間に約15分の相談を4件をこなすことができる相談員が1人いて、
1時間に4件の相談があるわけですから、いつもたいてい誰か1人が窓口で相談している状況は想像できます。
でも待たなくてはならないのはその1人くらいではないでしょうか？であれば 15分も待てば次には自分の番が来ると考えるのが自然です。つまり、待ち時間は 15分～せいぜい30分程度ならわかるのですが。平均待ち時間が３時間というのは想像できません。それでも理論は正しいのでしょうか？ わたしが納得できそうな回答をお願いします。
ベストアンサー
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quintia
満足60pt
平均4件/60分
ある1時間を観測したときに4件の相談が来る確率は19.5%
5件 17.5%
6件 13.3%
7件 9.1%
8件 5.7%
9件 3.4%
:
:
という分布になります。(1件が1.5%, 2件が9%, 3件が16.8%)
4件/60分平均のポアソン分布を仮定したとき、60分あたり 4～9件くる確率が 68.5%、1～3件くる確率が 27.3% です。
このポアソン分布の感覚をまず感じ取りましょう。
60分あたりで8件や9件くる確率を足すと10%近くになっていることも注意です。
理想的なランダムさ(でたらめさ)で事象が起こることを仮定するのでこうなるわけです。
視覚化した方が楽なら、
http://www.ipc.shimane-u.ac.jp/food/kobayasi/poisson%20excel.htm
のμ=5の分布を眺めるのがいいんじゃないでしょうか。
ということで、今度は逆に、結果の"平均3時間"も日常的な感覚とは違うことを感じ取る必要があります。
ちょっと時間も割けないので数字は出せないのですが、ほとんどの相談者は1～2時間程度の待ち時間で終わっていて、ごくわずかの相談者が長時間待たされる、という感じの分布になるはずです。
この「長時間待たされたごくわずかの相談者」が平均を押し上げるのです。
ポアソン分布や待ち行列とは関係ありませんがこんなページ↓を見ると、"平均"の感覚の日常とのズレがぼんやりと分かるんじゃないでしょうか?
http://allabout.co.jp/finance/moneysingle/closeup/CU20040202/ind...
ちょっと話変わって。
待ち行列で、ρ＝１の時、つまり平均到着率と平均サービス率が等しい時"平均の待ち行列長"は収束せずに無限大に発散します。
これはつまり、ある1時間を観察したときにどのぐらい待ち行列があるのか「全然予測できない」と解釈すればいいです。
似たような感じで、ρ≒１に近い仮定で分布図を書くと、すごく小さい値の線が、X軸にへばりついたように長く伸びます。
これも、どのぐらいの待ち行列長があっても不思議じゃない、どんな長さの待ち行列も同じぐらいの少ない確率で発生しうる、と解釈できます。
また話を戻すと、質問の"平均3時間"もグラフにすると、3時間の左側に山があるけれども、3時間の右側に"確率は低いが幅が広い帯"があるような雰囲気です。
待ち行列理論の"平均3時間"が、日常的な"平均3時間"の感覚と食い違っているイメージを書いてみたつもりですがいかがでしょうか。
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BAZZ
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BAZZその他の回答
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ken33jp
満足5pt
病院を想定します。
１人10分検診+５分がロスタイムで平均一人15分かかるとします。
で、待ち時間は、３時間でしょうね。
人気のあるところは、もっと待たないと見てもらえないです。
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BAZZ
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質問の情報
- 登録日時
- 2008-04-14 22:56:22
- 終了日時
- 2008-04-19 15:15:01
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処理が１５分以内で終わるのと１５分以上かかるのと５０％ずつの確率とすると、
１５分ごとに行列が一人長くなったり短くなったりします。ずーーーっと時間がたつとすごく長くなる可能性もあります。N人処理した後はだいたい√N人の行列になります。このとき到着しちゃうとすごく待たされます。
あの、先生は１人でないと問題文と想定がぜんぜん違いますけど。
> よく、平均の数倍もの応答時間を示すトランザクションを発見する場合があります。
> そういったとき、そのトランザクションは例外値/特異値などとして扱い、
これは難しいですね。
数学モデル上は「真にランダム」なので、平均よりもずっと大きい値がごくごく小さい確率で発生しうるわけですが。
コンピュータシステムの振る舞いを考える時は、数学上のモデルに「従うと仮定」しているわけで……。
何か原因があって発生しているのか、数学上のモデルに従っているのかの判断は大変そうです。
そもそも、マルチタスキングでのリソースの配分なんかも待ち行列理論で扱われるモデルを基にしているわけですし。
関係にあることだと思います。
サービス率５０％、待ち数が１の状態では、サービス時間と待ち時間が同じ状態と
みなせるので列が増えることはないということですが、
それ以上になると、後ろの人は前の人の分も待たなくてはいけないわけです。
すなわち、列が長くなればなるほど、待つ時間が累積して長くなり、計算されたとおりの
長い時間またさせるという結果になるということになると思うのですが…。
ポアソン分布=自然現象は、私の今までの感覚以上にバラツキが大きい、
確率分布図で言えば、かなりなだらかな山であることが分かりました。
その場合の長い待ち時間も当然であることが、数字的にはっきり
シミュレーションで確認きました。ありがとうございます。
「ポアソン分布の関数の値は確率である」ということがポイントです。
quintiaさんの回答のおかげでExcelにポアソン分布関数があることを思い出しましたので、ちょっと計算してみました。
単位時間当たりの平均到着件数μで、到着がポアソン分布に従う場合、
1時間あたり n件到着する確率 = POISSON(n, 4, false) = ポアソン分布の変数x に対する確率密度 f(x,λ)
1時間のうち、到着する件数がn件以下である確率 = POISSON(n, 4, true) = ポアソン分布の下側累積確率 P(x,λ)
なので、平均到着件数λ=4の場合、
1時間の到着件数が8件を超えない(=ピーク時2倍で収まる)確率 = POISSON(8, 4, true) = 0.978636566
1時間の到着件数が12件を超えない(=ピーク時3倍で収まる)確率 = P(12,4, true) = 0.999726283
というわけで、24時間窓口の場合でも
1時間の到着件数が12件を超える(9件以上来る)のは、P(x=8,λ=4)*24(hour)*365.2422(day)= 1年に2.4回、
つまり「1年に2.4回くらいは平均値の3倍(=ピーク時3倍)の客が来る」みたいにポアソン分布を利用することができます。
ちなみに
>たとえば、9時の開店で、24件/時間 のお客さんが来たとします。
>(中略します)
>この24名の平均待ち時間は約3時間ですね。
>ポアソン分布というのは、平均4件/時間 という前提から、ピーク時6倍の
>要求まで考慮たバラツキと考えることは正しいですか？
1時間に24件以上来ることがある確率は、0.9999999999984306862186 で
=POISSON(24, 4,TRUE) => 8.30914E-12 で、1155万年に1回(!)起こることになります。(本当かなぁ?)
(あくまで到着がポアソン分布に従う場合です。
例えば、銀行の窓口のお昼付近とか、交差点の車の数とか、たいていは偏りがありランダムではないことが多いですが。)
以下のようなグラフを出してくれるサイトも見つけましたのでご紹介しておきます。:
- 高精度計算サイト ポアソン分布の計算:
http://has10.casio.co.jp/has10/Menu.cgi?path=07000000%2e%93%9d%8cv%8a%d6%90%94%2f01017000%2e%83%7c%83A%83%5c%83%93%95%aa%95z