数学の質問です。
以下の等式について，両辺が等しくなるのはなぜなのか，詳しく正確に説明して頂けませんか？
２×３×５×７×１１×１３×１７×１９×２３×・・・ ＝ ４π^2
※左辺にあるのは素数です。「^2」は二乗です。
ベストアンサー
-
quintia
満足100pt
http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs00220-007-0350-z
元論文(↑)pdfの10ページ目。ノンブル上の78ページ。
定理8
すべての素数の超正規化積(super-regularized product)が4π^2に等しい
つまりこの式の×の記号は、日常的な乗算ではなくて新しく定義された演算だということです。
ゼータ関数を2変数化することで定義される超正規化積という演算で、それを用いた「全ての素数の超正規化積」が4π^2に等しい、という内容らしいです。 -
その他の回答
-
pida6
満足100pt
調べてみましたが，私には理解できませんでした・・・
すべての素数の積が4π^2 になることの証明
|ζ’(n)|/| ζ(n)|= -( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・) …②
ここでζ(0)=-1/2ζ’(0)=-1/2log(2^π)
②にn=0 を代入すると
|-1/2log(2^π)|/|-1/2|=-Σlogp-Σlogp-Σlogp・・・
=-(1+1+1+1+1+・・・) *Σlogp
=-ζ(0) Σlogp
=-(-1/2) Σlogp
=1/2Σlogp
よって1/2Σlogp=log(2^π)
Σlogp= log(4π^2)
log2+log3+log5+・・・= log(4π^2)
log(2*3*5*7・・・)= log(4π^2)
2*3*5*7・・・=4π^2
参考；http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q111741526 -
- その他の回答を読む
この質問へのコメント
質問の情報
- 登録日時
- 2014-02-26 02:00:04
- 終了日時
- 2014-03-05 02:05:04
- 回答条件
- 1人5回まで
この質問のカテゴリ
この質問に含まれるキーワード
人気の質問
-
この英文どうなってますか？ The boy seemed to be waiting for his mother to come.（その少年は母親が来…
匿名質問者
3
1
-
不定詞の形容詞的用法らしいんですけど、副詞的用法と書いたら✖️ですか？ I want to buy a book to read …匿名質問者11
-
日向陽葵という○V女優が好きなのですが似ている○V女優はいますか匿名質問者
-
共通テストで使われるプログラミング言語は共通テスト特有の言語と聞いたのですが、受験勉強で身につけたプ…匿名質問者21
-
内定してほしいポケモンはいますか？匿名質問者
http://d.hatena.ne.jp/StudyGuide+Memo/20140213/p1
は発見した。
一番のりで正確な情報を投稿して下さいましたね。さすがです。情報収集が速いと思います。
しかし，私もそのURLは知っております。ググるとすぐに出てくるため。
>quintiaさん
仰るとおりです。本当はゼータを使って間接的に表現すべきものを省いた，便宜的な式になります。
ζ(0)=-1/2,ζ0)=-1/2×log(2π)
を代入すれば4π^2が得られる。その式を導くには
ζ(s)=Π[p:pime]1/(1-p^(-s))
のlogをとってs=0のまわりで冪級数展開（指数関数やlogの展開を利用する）
無限和と微分の可換性を仮定すれば
ζ'(s)/ζ(s)の冪級数展開が得られるが、
展開の定数項が-Π[p:pime]p
であるから、s=0を代入すればよい。
よくある証明のコピペでは、s=0を代入するタイミングが早すぎてゼータ正規化ができないし、
ζ(0)とζ(0)+1の区別ができない。最後に代入するのが正解。
式変形の妥当性：sで冪級数展開して時にオーダが小さい項の係数が発散級数になるが、逆にそれ以外の部分によって発散項を書き表すと、すべて複素平面上の有理型関数で書ける。よって発散項を解析接続すれば（つまり第二項をゼータ正規化、定数項をゼータ超正規化すれば）発散項を有理型関数と見做せる。