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口約束の立証は不可能ではありませんが、おっしゃる証拠だけですといささか心もとないという気もします。
契約書はないが、証言やメモを元に契約の存在の立証を試みるのはよくあることです。しかし、そうはいっても署名捺印のある契約書の証明力にはそうおいそれとは敵いません。
ただ、相手方(つまり、口約束の内容で不利に立たされる側、この場合コンビニ側)の作成したメモや、コンビニ側ないし中立的な立場からの証言があれば立証できる可能性が高いです。
おっしゃる内容からすると、現状、ご自身の作成したメモと、ご自身の証言が拠り所になるかと思います。口約束の内容で利益を受ける側の証拠しかないという状況では、なかなか難しいのではないかと思います。
ところで今、有利、不利、と書きましたが、そもそも、原契約と口約束の内容がいまいちはっきりしません。
原契約は、「コンビニの原状復帰工事後敷金300万円をあなたが全額コンビニへ返す」ということですから、原状復帰費用はコンビニの負担ということですよね?
一方口約束のほうは、「原状復帰工事代金としてコンビニがあなたへ300万円支払います。(つまり敷金全額償却)」ということですから、原状復帰費用はあなたの負担というふうに解釈できます。
この口約束があったほうがいいのか、ないほうがいいのかは、原状復帰工事に300万円以上かかるのか、そうでないのかによって変わってくると思った次第です。