訴える気がないのに訴えると伝えるのは脅迫罪に当たります。
https://furin-isharyou.net/article/will-the-insult-party-threaten-make-a-trial-or-litigate-a-threat/
犬の鳴き声で困っていることを書いた手紙と一緒に、犬のしつけ方の本をポストに投函してはいかがでしょうか?
手紙だけで無くわざわざ本を買って投函することで、金をかけてでも犬の鳴き声を直して欲しいほどに困っている事を伝えられると思います。
面と向かって直接言ったらどうですか?それが一番だと思いますよ。