非常に幼稚な質問であることは分かっておりますので、優しく、易しく回答お願いいたします（^^）。
n=1に時に成り立ち、n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1のときに成り立つことを証明する、ということ自体は分かるのですが、下記のような疑問があります？。
1,2,3,4,5,6,7,8,9
は証明できますし、実際数学的帰納法で直感的に非常に理解できます。
しかし、
1,2,3,【3,2,1】4,5,6,7,8,9
というカッコ内の異物が混入していた場合、初項を取り出し、kの成立を仮定して、k+1という判断をするときに、【】の異物はきちんと考慮に入るのでしょうか？
数学が得意な方には笑っちゃうような質問なんでしょうが、数十年来の疑問なので、よろしくご回答お願いいたします。
No.1
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そもそもｋはどういう数かご存知ですか？
数学的帰納法では、Ｋは自然数である（自然数は０より大きい整数）と定義されます。つまり、あなたが質問しているようなことは杞憂であります。要はある条件がある自然数に対して成り立つことを証明しているので、カッコ内の数が定義された数に属するのならその様な数でも成り立つのです。
No.2
2427
35pt
KASU44 様の回答があってからもまだ質問が開かれていましたので、少し。。。
そもそも数学的帰納法というのは、自然数全体に関する命題 P(n) (n∈N) が真であることを証明する論法なのです。
つまり、kは自然数という前提で、数学的帰納法という法則が編み出されているのです。。。
となると、1,2,3,【3,2,1】4,5,6,7,8,9
という考えは起こらないことになりますよね。
【n=1に時に成り立ち、n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1のときに成り立つことを証明する、ということ自体は分かるのですが】
との記述がありますが、これの前提として「何が」というものが抜けています。
数学的帰納法の問題としては（Wikipediaより引用）
【任意の自然数 n について、0 + 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 であることを証明せよ】
つまり、ここでは「0+1+2+...+n = n(n+1)/2」が、「n=1に時に成り立ち、n=kのとき成り立つと仮定して、n=k+1のときに成り立つことを証明する」ということになるのです。
おわかりいただけましたでしょうか？？
No.3
314964
10pt
n=kの時に成り立てば、n=k＋1のときにも成り立つ。というのであって、かつ「始まり」のn=1の時には成り立っているのだから、1のときＯＫ，んじゃ2のときももちろんＯＫ，んで2のときに成立するのだから3でもいけるよね･･･と永遠に続く訳ですが････
http://www.geocities.co.jp/SweetHome-Ivory/6352/sub6/induction.h...
No.4
41411
10pt
自然数の公理
任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
異なる自然数は異なる後者を持つ。つまり a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
なので、括弧のように順番が入れ替わることは無いです。
No.5
671
10pt
前提条件をかえてみてください.
本来数学的帰納法は，自然数に用いらられるものですが，あくまで普段私たちが用いているのは10進数の自然数です．
たとえば，その【】を含めて12進数の数を扱った自然数の数列とみなすなら，この命題は成り立ちます．
http://cache.yahoofs.jp/search/cache?ei=UTF-8&p=%E6%95%B0%E5%AD%...
No.6
351
10pt
数学的帰納法がなぜ証明になるのかお悩みなんですね。
（正確には違う思考の罠に捕らわれてしまったようですが）
数学的帰納法は、判り易く性質を述べると、
１．左辺（or右辺）を規則性のある数列の和で表せる等式がある
２．ｎがどのような自然数（＝正の整数）でも成り立つことを証明したい！
３．１から∞までの整数を代入するという原始的な方法を考えた（いちいち代入して考えるわけだから、絶対正確）
４．コンピュータでもないと、ｎ＝１００までだとしてもすごい手間！
しかも、ｎの範囲が限定されていないので、③の方法は無理！
５．擬似的に③の方法を実現させることを考えた頭のいい人がいた
６．彼は帰納法を数学に流用してみた
７．ｎ＝１までは③のやり方のままやっているんだけど、そのあとを彼は文字でおくことで∞までの代入と同じになると考えた。
８．ある文字ｋ（ｎ以外ならなんでもいいんだけど）をｎに代入する。これを成り立つとするとｋ＋１も成り立つと証明できるか試してみる
９．⑦⑧が成り立つなら、
まずｎ＝１のときOK。
ｋに１を入れるとｋ＋１＝２だ。だから、ｎ＝２のときOK。
ｋに２を入れるとｋ＋１＝３だ。だから、ｎ＝３のときOK。
ｋに３を・・・・
ｋに４を・・・
ｋに５を・・
・・・・
・・・
・・
・
と、∞までの整数で、全て成り立つと判る。
１０．したがって、１から∞までの自然数を代入したことと同じになる。証明終了！！
（例）
１・２+２・３＋・・・＋（ｎ＋１）・ｎ＝ （ｎ＋１）（ｎ＋２）（２ｎ＋１）／６ ＋ ｎ（ｎ＋１）／２を数学的帰納法を利用して証明しなさい。とか。
というものです。ここであなたが悩んでいるのは、左辺が規則のないような数列ならば数学的帰納法でどう考えるのか、ということではないでしょうか。この場合、（A）一部例外があるが規則はある、（B）規則性がない、の二つが考えられます。
規則性がない時は証明しようがないので考えません。
例外があるときなんですが、例外は別に証明して、その後あなたの例なら、
（ⅰ）規則のない６までを証明（方法は自由）
（ⅱ）ｎ＝７が成り立つか
（ⅲ）ｎ＝ｋが成り立つなら、ｎ＝ｋ＋１が成り立つ
で証明可能ですよ。
No.7
120
10pt
たまっている未読回答が多いので、かぶっていたり「もうわかったよ」ということであれば、ポイントは結構です。(というか最初のお二人の回答を噛み砕いただけですのでポイントは特になくてもかまいません。)
さて、clinejpさんの質問にそってお答えすると、例えば、
1,2,3,【3,2,1】4,5,6,7,8,9
という数字の列にたいして、数学的帰納法を適用するには、
a(1)=1
a(2)=2
a(3)=3
a(4)=3 注意！
a(5)=2 注意！
a(6)=1 注意！
a(7)=4 注意！
a(8)=5 注意！
a(9)=6 注意！
(以下略)
という数列{a(k)}に対して帰納法を適用することになります。
そして、帰納法の推論は
1.a(1)で成立
2.a(k)で成立すればa(k+1)でも成立
と進むことになります。
つまり、帰納法は、あくまでも命題(この場合は数列に関する何かしらの性質)を自然数によって順序付けられていることが大事なわけです。
（ということはkasu44さんもkonchan117さんもおっしゃっている通りのことです）
そこを混同されているかと思います。
現実的には、k番目の命題と自然数kに何か関連性があるからこそ、2.が証明できるわけですが、原理としての帰納法と、個別の証明を区別して考えると良いかと思います。
http://www.7andy.jp/books/detail?accd=31151806
鳩の巣原理と帰納法については「数学発想ゼミナール １」がおすすめです。
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コメント（1件)
少々仕事が立て込んでいたもので・・・。
規則性が破られる可能性のある場合は、数学的帰納法で証明することができるのか、というのが自分の疑問点だったような気がします。
（自分の疑問点も分かってすっきりしました）
きっと、皆様に教えていただいた「公理」という概念をきちんと分かってなかったのかな。
しかし、すごく頭が活性化されました。
あらためてありがとうございます。