πが無理数だというのを、数学に詳しくない人でもわかるように説明してくれ。頼む。
※数学としては算数レヴェル希望。文系でもわかる説明は高度でも可。
No.1
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※口調を中学生（想定）向けにしています。鼻についたらすみません。
まってまって～、それは君が本当に聞きたいこととは違うよ。永遠に続く小数のことを全部無理数っていうんじゃないよ。
無限小数で0.33333…ってあるけどこれ「１／３」って分数で書けるね。永遠に続くけど、永遠に続く小数のうち、分数でかけるものは「有利数」、そうでないものは無理数なんだ。（たしか中学の後半で習うよね）
きみはπが無理数であることを証明してほしいんじゃなくて、それ以前の段階で、永遠に続く小数であるってことを証明してほしいんだよね。
でもね、じゃあ、0.333333…だって納得いかないだろ。１を３で割ったら、どこかで突然、細かすぎて余りがなくなって、割り切れるかもしれないじゃないか。これにどう反論する？
たぶん同じ計算が続くから予測できるんだ、っていうんだろうね。１に０をつけて３でわって３あまり１、またその余った１にゼロをつけて…。全く同じことの繰り返しだから簡単に予測できるな。
きみが反論したのと同じというか、もうちょっと詳しいやりかたで、円周率は割り切れないことが「予測」されてるんだ。その予測は事実だと検証されたので証明ともいう。
でもそれには大学で習う数学をつかわなきゃだめだね。ルート２が無限につづく小数である（どこかの桁で割り切れない）ことも高校までの数学では証明できないんだから。（中学で有理数・無理数という言葉をつかいつつ事実として習いはするけれど）
こっちなら大学入試くらいの数学をやっている人ならわかりやすいとおもう。
円周率が22/7より小さいことの証明 - Wikipedia
最後のほうに、πを分数と比較しながら求めるための一般式がでてくる。
「有理数だが無限小数である分数」をいくつも足しあわせて、「π」により近づいた形のものを表現しようとしているんだね。この式の「ｎ」の部分を４の倍数で４，８、１２、１６…とすすめていけば手持ちのコマは無限にπというゴールにちかづいていくのらしい。
ここで、やってるのは、割り算と割り算の引き算。つまり無限小数と無限小数の引き算。その結果も、無限小数になる。じゃあ、どうにかちかづけようとがんばっているゴールであるπも無限小数なんだろうという直感がしてくるんじゃないかな。数学的には全然意味のない仮定だけどね。
（数学者だと逆に、いかに無限小数どうしといえど、πという無理数を有理数で完全に表現することは不可能という証明が存在する、なんならその証明を自分が作るためにガンバルゾ、という言い方をするとおもう。ややこしい連中だ。そもそもどれだけ「ゴール」の形をしりたかったか、有限小数か無限小数の合間かがぼんやりしていかに不愉快だったかについてはいっしょに考えてはくれないんだ。ところで足し算でどんな形にもするってのはフーリエ変換みたいな話だけどこっちはこっちでまたややこしいからほうっておこう…）
√5が無限小数であることを証明するための参考資料はないか。 | レファレンス協同データベース←最終的には「中学教科書に書いてあるから」という解答…。でももう一つの本はおもしろそう。
No.2
49732154
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要は出てきた式を片っ端から理解してけってことになるんですかね。わかんなかったら調べて理解していく。
数式を理解せずとも、”どういう意味合いで作られた、生まれた式なのか”がわかれば数学知らなくても理解たりしないかなとか思ったのは甘かったですかね。
それぞれの式をどうやって変形したりするかは理解できなくても、変形したりする方法があるんだ、という理解ができれば、納得はできるんじゃないかな、と思います。
円周率が無理数だってことを証明する方法はいくつもあるのですが、具体的にブツを見た方が話が先に進むと思うので、ググってみました。
ざっと検索した中で、式が追いやすい雰囲気で、前提と結果が矛盾しているというのが分かりやすいのがここかな、って思った。
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node25.html
http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/mondai/node26.html#k029
「ニーベンの証明」とか言うらしい。
積分だ級数だとかってでてきますけど、自分で解かなきゃいけないわけじゃないので、次にいけるんだ、くらいで良いのかな、と。
流し読みした感じでは、ぼくは小問2 の冒頭が説明できない 最後のところが、もごもごって感じかな (´・ω・｀)
これをオブラート一枚包むと、一挙にここまでうすらぼんやりとします。
あと、「どういう意味合いで作られた、生まれた式なのか”がわかれば」というコメントがありましたが、円周率が無理数であることを証明するために編み出した式だと思います。
図形問題の補助線のように、「どうして、そこに線を引かなきゃいけないんだ」みたいな道具。
ある式Ｉnでなえました。Ｉってなんやねん。nって何？ で。
SEだったのでf(x)とかなら、まだ馴染があるんですけど、Ｉってなんなんでしょう？
そこがクリアになったら、次は、２の「πを有理数と前提に置くと、n をそれなりに大きくすると、I_n の範囲は 0 < I_n < 1 になります」で？が一杯になります。
その辺がクリアになればなんとなくわかりそうな説明ではあります。
ある式Ｉnでなえました。Ｉってなんやねん。nって何？ で。
SEだったのでf(x)とかなら、まだ馴染があるんですけど、Ｉってなんなんでしょう？
は、インテグラル（積分）のアイかな。
関数を function の f を取って、f(x) ってやるのと、同じノリです。
ふたつ関数が欲しいと、f の次で、g(x) を使ったりしますが、その程度の記号。
n も、連続値ではなくて、整数が入るよ、という意味の n 。
ニーベンの証明だと、Wikipedia を含め、こっちの書き方をしてるところが多い気がします。
円周率の無理性の証明 - Wikipedia
こっちだと、F(n) って書き方をしてます。
ある関数 f(x) を積分したのを F(x) と大文字で書く習慣があるので、そういう書き方をしてるんでしょう。
証明の流れとしては、わけの分からない F(x) も持ち出した後に、F(x) の特定の値がある積分と同じになることを、って回答に書いたところとは逆になってますが。
「取り出だしたる、何の変哲もない という数列。
タネも仕掛けもございません。
変哲もないと言うには、少々、込み入った式ではございますが、私が考案したこの数列を使うと、あら不思議。
円周率が無理数だという証明ができてしまうのでございます。
これからお話し致しますのは、その証明に至るまでの顛末でございます。
しばしの間、お付き合いしていただければと存じます」
って感じ。
そこがクリアになったら、次は、２の「πを有理数と前提に置くと、n をそれなりに大きくすると、I_n の範囲は 0 < I_n < 1 になります」で？が一杯になります。
は数列の一般項。n には 1, 2, 3, ... と入ります。
計算してみますか。
計算には、WolframAlpha を使います。
n = 1 のとき（）は、こうです。
integrate 1/1! x^1 (22 -7x)^1 sin x from 0 to pi - Wolfram|Alpha
既に 1 を超えてます :-)
並べてみますか。
おやおや、増える一方。でも、安心してください。
まだまだ小さくなります。
やっと、1 を切りました。
数字を並べてるだけでは、この先ずっと減り続ける一方なのかどうかという保証はありませんけれど。
ちょっと話が飛びます。
数学には「極限」というのがあります（数Ⅱかな）。
回答編に出ている です。
「n を果てしなく大きくするとどうなる」です。 は、n の小さいところでは、増えたり減ったりしてましたが、n を果てしなく大きくすると
になる、という計算をしています。
n を果てしなく大きくすると 0 になる、ということは、その途中のどこかから先は 1 よりも小さくなるということです。
もちろん、どこかから先は 2 よりも小さくなるはずだし、その手前には 3 よりも小さくなるところがあるのですけれど、この証明のゴールは「は整数である」ということと矛盾する、というところです。
なので、が 1 よりも小さくなる n がどこかにある、ということを前半で示すことができれば良いんです。
a-kuma3
2016/03/25 08:57:06
152
75
☆
2
2
1
とりあえず、√２が無理数の４つの照明の内、上の二つはなんとなく理解できました。ためになります。
2016/03/25 13:04:02つまらん指摘です。内容記述に関係ない
2016/03/27 19:46:34分数でかけるものは「有利数」、
、√２が無理数の４つの照明の内、
すみません、私も誤変換は得意です。