｢円周率＝4｣を証明する動画が話題になってるようですが､数学は中学で止まってるので4で納得してしまいました｡無粋なのは承知なのですが､解説くだされ…

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｢円周率＝4｣を証明する動画が話題になってるようですが､数学は中学で止まってるので4で納得してしまいました｡

無粋なのは承知なのですが､解説くだされ

●質問者: ☆
●ｶﾃｺﾞﾘ:学習･教育ﾈﾀ･ｼﾞｮｰｸ
○ 状態 :終了
└ 回答数 : 4/4件

折れ線が曲線に近づくからと行って､長さも近づくとは限りません｡

例えば､長さ1の線分を考え､これをn個の長さ1/nの線分に分割します｡その各々を底辺とする正三角形を考えて､他の辺をつなぎ合わせた折れ線を考えると､この長さは2となります｡n→∞とするとこの折れ線が元の線分に近づくからといって長さも近づくわけではありません｡もし例の証明の論法で行くと1=2となって矛盾です｡

☆さんのｺﾒﾝﾄ
あｰ､文章なのでｲﾒｰｼﾞしにくかったですが､仕掛けはわかりました｡ありがとうございます｡ですが､こちらの例でも無限の直前？では折れ線が2で､無限になると途端に1になるその瞬間に何が起こってるのかがﾋﾟﾝときませんでした｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
そもそも無限の直前という概念自体がありません｡

▽2 ● Lhankor_Mhy

みやどさんの回答のとおりだと思うのですが､ｲﾒｰｼﾞがつかないようなので補足します｡
なお､私も数学は素人なので､勘違いや誤りや不正確な表現を含んでいるかと思います｡ご容赦ください｡

三角形の例ですが､高さ√3/2･底辺1の三角形ですから､面積は√3/4です｡
底辺が半分になると､面積はそれぞれ√3/16で2個なので合計√3/8
さらに半分になると､面積はそれぞれ√3/64で4個なので合計√3/16

まとめると､
n=1､L=2､S=√3/4
n=2､L=2､S=√3/8
n=3､L=2､S=√3/16
...
n=x､L=2､S=√3/(2^x+1)
...
n=∞､L=2､S=0
となります｡
ご覧のとおり､面積は0に収束しますが､長さはnがいくつであっても､たとえ無限であろうともﾋﾞﾀｲﾁ動かないです｡

件の扇型がきちんとπ/4に収束するかどうかは未確認ですが､同様に｢面積の収束｣と｢長さの収束｣とを意図的に混同させた問題であるかと思います｡
参考になれば幸いです｡

☆さんのｺﾒﾝﾄ
補足ありがとうございます！なんとなくわかった気にはなれました！

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
> n=∞､L=2､S=0 こう書いちゃまずいですよ｡ n→∞のとき､L→2､S→0 のように書きます｡面積の場合､扇形の件は大丈夫です｡余り変なものを考え出すと､｢そもそもそんなものに面積を考えるのか｣という問題になっていきますが､Lebesgueの意味で言うなら､少なくとも面積が有限の値として定まるように削っていったものの極限の場合は大丈夫です｡｢そんなもの｣というのは例えばx. y平面で A1は0<x<1. 0<y<1の範囲からなる正方形(面積S1=1) A2はA1からx=1/2の線分を除いたもの(線分は面積0なので依然として面積S2=1) A3はA2から更にx=1/3, 2/3の複数の線分を除いたもの(線分は面積0なので依然として面積S3=1) A4はA3から更にx=1/4, 3/4の複数の線分を除いたもの［2/4=1/2は既に除かれているので］(線分は面積0なので依然として面積S4=1) … とやった場合は､A1の範囲内で除かれないのはx座標が無理数の部分です｡こんなものにも面積を考えるのかということになりますが､これはLebesgueの意味では面積が1のままです｡

Lhankor_Mhyさんのｺﾒﾝﾄ
まいさんの回答を見て､みやどさんに何を言われているのかようやく理解しました｡

▽3 ● rsc

極限状態のﾐｸﾛの三角形を考えて､

三角形の2辺の長さの和は､他の1辺の長さより大きい｡

http://physics.thick.jp/Mathematics_A/Section5/5-2.html

☆さんのｺﾒﾝﾄ
あｰ､限りなくｾﾞﾛなのに､”ｾﾞﾛ”と”ｾﾞﾛより大きい”っていう決まりがあるわけですね！なんとなくですが､情報の整理に役立った感じです｡ありがとうございます！

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
その説明は間違いです｡0<1/nですが極限を取れば等号が成立します｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
まあ､π≦4の証明としては通用しますが､その論法だとπ<4かπ=4かは不明ということになります｡

rscさんのｺﾒﾝﾄ
そうなんですか｡それにしても､見た目､そう変わらないのに､1近くも差が出るなんて不思議ですね｡

rscさんのｺﾒﾝﾄ
そもそも論になりますが､積分の曲線の長さの公式の導出では､Δs≒√{(Δx)^2+(Δy)^2}で近似するところを､その動画では､Δx+Δyで近似しようとしていて､ちょっと近似が粗すぎる気もします｡(^_^;

▽4 ● まい

数式や数学用語をなるべく用いずに大学数学ごっこをやってみる｡とはいえ自信はないので､あまりｱﾃにしないでほしい｡

まず､あの折れ線l_1と円弧l_2は一致しなくはない｡なぜこんな曖昧な言い方をするかというと､l_1の折れる数が増えるにつれて円弧に乗っている点の数が増えていき､最終的に可算無限個に到達する(際限なく近づく)からである｡すなわち､l_1上にある可算無限個の点が､l_2の上に乗っているということになる｡また､これらの点は稠密であるから､実数直線上にある有理数と似たような形をしている(同型という言葉が適切なのかは知らない)といえる｡

ところで､証明は省くが､l_2は定義域において連続である｡すなわち､l_2をあえて点の集合と考えると､l_2上にある点の数は非可算無限個､すなわち数直線上にある実数の数と似たような形をしているといえる｡

これらをまとめて考えると､｢l_1を無限に折ったとき､l_2と重なる部分は点の集合であり､それは実数直線上の有理数の個数とだいたい同じである｣といえる｡有理数は稠密だが連続ではないから､測度0(無いも同然だという意味)となる｡別の角度から同じことを表現すると､非可算無限から可算無限を除いても非可算無限は変わらないということである｡

ﾃﾞｨﾘｸﾚの関数を引き合いに出すならば､あれはﾘｰﾏﾝ積分不可能でありながら､ﾙﾍﾞｰｸﾞ積分可能である｡この現象を説明するのによく使用される表現は｢実数直線上にある数のほとんどは無理数だ｣だが､これが加算と非可算の境界をよく示している｡

話をまとめると､l_2に一致するl_1の部分はしょせん可算無限個の点でしかないので､決して非可算無限個の線的な一致はなし得ないということである｡そして､その可算無限個の点は実質的に長さ0となる｡もちろん､線的な一致ではないのでこれがl_2と同一視されることはない｡

……というｶﾞﾊﾞｶﾞﾊﾞ理論(特に測度のところとか適当)を思いついたので書いた｡ほかに距離空間の話をしても証明できそう？

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
折れ線が実際に円弧と重なる部分と､極限的に近づく｢行き先｣がごっちゃになっています｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
すみません､どういうことか詳しく説明していただけませんか？

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
可算無限個どうのこうのというのは折れ線の段階で実際に円弧に重なります｡完全に一致するのは折れ線の極限を考えた場合です｡(これも厳密には曲線列の極限をどう定義するかという問題はありますが｡)

まいさんのｺﾒﾝﾄ
｢折れ線の段階｣というのが何なのかよくわかりませんが､｢極限を考えない有限の操作の段階(簡単に言うと細かく折れているのが分かる段階)｣という意味で捉えるならば､可算無限個の点が折れ線で実際に重なるのは不可能です｡なぜならば､実際にﾋﾟｯﾀﾘと重なる点の個数は操作の回数nに関する式となっており(漸化式などを用いて表現できるでしょう)､有限のnに対しては有限の値しか返せないからです｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
可算無限個の各点がそれぞれ折れ線のどこかの段階で重なるという意味です｡どの段階かは点に依存します｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
なんとなくわかりました｡あなたは｢折る回数の極限をとると折れ線はなめらかな曲線(ここでいう円弧)になる｣と思われているのですね？それは厳密には間違いです｡何故ならば､｢折る回数｣というのは(そもそも数え上げていくのだから)高々可算無限にしか到達できないからです｡可算無限回折ることによって､たしかに稠密に円弧と折れ線(だったもの)は重なります｡しかし､稠密なだけで連続ではありません｡もっとも分かりやすい違いは滑らかさです｡円弧は非常に滑らかですが､折れ線(だったもの)は｢あらゆるところ｣で折れています(これが可算無限回折ったということに相当します)｡ちなみに､もし非可算無限回折ることができれば､円弧と折れ線は連続して重なります｡しかし､それでは動画の通りπ=4となってしまい､矛盾です｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
厳密に言えば､曲線列が収束するというのをどう定義するのかという問題はあります｡もっと簡単な例で説明するなら､有理数は可算無限個しかありません｡しかし､有理数｢列｣の極限は無理数になることもあります｡また任意の無理数は有理数数列の極限として表せます｡(すなわち､有理数全体の集合は実数全体の集合の中で稠密です｡)そして実数は(無理数は､といってもいいですが)不可算無限個あります｡(実数全体の集合は可分｡) 数列の段階で有理数だからと言って､収束先も無理数とは限りません｡曲線の列の各々が折れ線だからと言って､収束先も折れているというわけではありません｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
例えば[0, 1]上で定義された｢連続な｣定数値でない実数値関数f(x)に対して､fn(x)を｢f(x)の小数第n位未満切り捨て｣と定義すると､十分大きいnに対してfn(x)は不連続関数になります｡しかし､fn(x)が不連続だからといって､その収束先も不連続なわけではありません｡fn(x)はf(x)に収束し､こちらは連続関数です｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
私の書き方が悪かったようです｡可算無限回折った折れ線はあらゆるところで折れていると書きましたが､これが誤解を生んだようです｡そのような折れ線は至る所折れているのだから､もはや我々のいう折れ線ではなく､あくまで連続な直線ではないﾅﾆｶ(我々の想像の中にしか存在しない代物)であるというのが妥当でしょうか｡私が言いたいのは､あくまで折れ線を可算無限回折ったところで円弧と一致することはない､ということです｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
ところで､｢曲線列が収束するというのをどう定義するのかという問題｣とは何でしょうか｡具体的な解をひとつ提示していただくことは可能ですか？

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
そもそも曲線をどう定義するかということになりますが､例えば[0,1]上で定義された(今の場合は平面上の点を値としてとる)関数(通常､連続ぐらいを仮定しておきますが)で定義するなら､関数の各点収束で定義するということはできます｡ただ､それでいくと､関数の値域が一致(常識的に同じ曲線)していても関数として異なるということも生じうることに注意を要します｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
なるほど､だいたい理解しました｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
長くなりすぎた気がするので､話をまとめます｡可算無限回折った折れ線は円弧と稠密に一致しますが､決して連続ではありません｡そして､稠密なだけでは我々の知る｢長さ｣は0(測度による)なので､動画の証明は間違っています､というのがこの問題における私の主張です｡(国語的なﾆｭｱﾝｽ等は無視するとして)そのように結論づけても良いでしょうか？

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
> 可算無限回折った折れ線はそもそも｢可算無限回折った折れ線｣というのをどう定義するのかという問題がありますが､折れ線を順次L1, L2, …と定義することとして､Lを｢十分大きい全てのnに対してLnに属する点からなる集合｣と定義することは考えられます｡それでいくとL={A, B, P1, P2, …}となります｡ここまで｢位相｣という概念は使っていません｡ > 円弧と稠密に一致しますが､円弧上の点P1, P2, …の取り方が書いていませんが､例えば､x座標/2(半径2なので)が順次1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, …となるように取るようにして(あるいは､極座標の角度がこのπ/2倍でもいいですが)､稠密になるように取ることは可能です｡以下､稠密になるように取ることは仮定するものとします｡ここでは｢位相｣という概念が出てきます｡ > 決して連続ではありません｡そもそもLは集合であって関数ではないので､｢連続｣とは普通は言いません｡連結でないとか､弧状連結でないとかいったことは言いますが｡ > そして､稠密なだけでは我々の知る｢長さ｣は0(測度による)なので､円周上にLebesgueのように測度を定めるなら0というのは正しいのですが｡ > 動画の証明は間違っています､というのがこの問題における私の主張です｡そこを間違いの論拠とするのはおかしいです｡動画では(半径2の場合に)Lnの長さが4だということを示しています｡ここまでは正しいのです｡しかしLは出てきません｡何らかの定義の仕方でLの長さが4とは言えるのかもしれませんが､言えたとすると上述の意味では0なのだから､それは｢別な意味の長さ｣ということになります｡しかもこの長さが集合の包含関係に関して単調増加だとすればπ≧4ということになるので､｢長さ｣と呼ぶのはおかしいことになります｡ですから､Lを使わずにどこがおかしいかを明らかにすべきです｡ Lnは円弧に見た感じ近づきます｡実際､例えばLnと円弧を極座標表示の角度の関数の値域と解釈して各点収束の意味と解釈するなら､Lnは円弧に収束します｡しかし､だからといってLnの長さが円弧の長さに収束することは導かれません｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
前半部分は特に異論は無しです｡というか､話の前提に近い部分(明言していない部分)を少し詳しくおさらいしていただいた感じですね｡ところが､後半｡Lの長さというのを唐突にお出しになっていますが､そうではなく､L内の各点の長さが0であり､それを可算無限個合わせたものも0である(測度の性質)と申しているのです｡Lの長さが4と言えることなど私は想定しておりません｡ﾃﾞｨﾘｸﾚの関数(dom=[0,1])にふたたび登場していただくと､｢値が1である部分の長さ｣というものを議論したいのではなく､｢値が1である部分｣の各点の長さが0なので……という話です｡これで誤解は解けましたでしょうか｡それとも､私が何か重大な間違いをしているのでしょうか｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
もしLの長さが0であることを論拠にπ=0を｢証明｣したいうのであれば､どこがおかしいのかを指摘するのに｢確かにLは稠密ではあるが､Lは円弧と一致せず､非可算無限個の点が残っている｣でいいんです｡しかし､この｢証明｣はπ=0を｢証明｣したのではなくπ=4を｢証明｣したといっているのですから､その指摘でどこがおかしいのかを指摘したことにはなっていないということです｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
｢可算無限個の点の長さが0｣という話は何だったのかについてお話しします｡まず､私の一番最初の回答の最後から2番目の段落を再掲しておきます｡～～～話をまとめると､l_2に一致するl_1の部分はしょせん可算無限個の点でしかないので､決して非可算無限個の線的な一致はなし得ないということである｡そして､その可算無限個の点は実質的に長さ0となる｡もちろん､線的な一致ではないのでこれがl_2と同一視されることはない｡～～～有限なnに対してn回折れた線の全長は4である｡これは貴方もご指摘していますように､正しい｡しかし､動画内ではこれをうっかり｢無限(可算無限を想定しているのか､非可算無限を想定しているのかは動画からは読み取れない)｣へとｼﾞｬﾝﾌﾟｱｯﾌﾟさせてしまった｡動画では折れ線と円弧が完全に一致している(非可算無限の場合のみこれは正しい)ので云々という話を続けていますが､nの性質上､非可算無限には到達できない｡つまりここがおかしいと言って良いでしょう｡｢可算無限個の点の長さが0｣という話が登場するのは､nを可算無限へとｼﾞｬﾝﾌﾟｱｯﾌﾟさせている場合です｡可算無限個の点が稠密に一致している状態では､一致部分の長さは実質0である､というのは私が何度か主張したところであります｡そして､私は｢これがl_2(円弧)と同一視されることはない｣と書いております｡すなわち一致しないものの長さを求めているに過ぎないのです｡なぜこんなことをしたのかというと､当然､動画内における｢無限｣のambiguityが原因です｡可算無限か非可算無限か明瞭でなかったため､このような混乱が起こってしまったのでしょう｡いくつか前のあなたのｺﾒﾝﾄで､私の推論の不備を指摘していただきました｡｢可算無限個の点の長さは0なので､この証明は間違っている｣というのはおかしい､と｡全くその通りですから､それに対しては｢特に異論なし｣と応答させていただきました(もちろんこじつけることはできますが､直接の根拠にはならないでしょう)｡その上で､私は自分の説明不足を補う形で､たった今､非可算無限と可算無限を明確に分けて説明した次第であります｡なお､私が先に使用していた｢連続｣という言葉は､あくまで実数の連続性に準えた表現であり､関数の連続性を指すものではないことを､遅ればせながらお知らせしておきます(異論なし､という言葉で片付けてしまっていた部分の一つです)｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
そして､直近のｺﾒﾝﾄであなたは｢動画でπ=0の証明をしているのであれば､その不備を指摘するには私(まい)の説明でいい｣という旨の発言をなさいました｡これは私の説明に(何に対する答えか､という話ではなく)一応矛盾がない(筋が通っている)という意味でしょうか｡実はそこが一番気になっているところなので､ご回答よろしくお願いします｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
動画のどこがおかしいかの指摘になっているかどうかは別として､｢可算無限回折る｣ということがどういうことなのか不明確ですが､それは私が定義したLの意味と定義すれば､一応矛盾はない(もちろん通常の数学自体に矛盾がないことは前提として)とは言えます｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
なるほど､良かったです｡私の不足な議論に付き合っていただき､ありがとうございました｡

pyopyopyoさんのｺﾒﾝﾄ
折れ線の長さは折る回数nを何回増やそうが 4 のまま円周率πには1ﾐﾘも近づかないってことだと思うのですがおっしゃりたいことはnを増やすと円弧の上に乗る点と円弧の上に乗らない点の個数の割合が π:(4-π) に漸近してゆくということでしょうか？

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
前者は､動画のどこがおかしいのかという点ではその通り｡ただし､まいさんが言っていることではありません｡後者は全然違います｡Pnまで通る折れ線で載っているのはA, B, P1, …，Pnのn+2個だけですが､載らないのは無限個(しかも不可算無限個)あります｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
収束しない数値に比を適用すること自体が間違いです｡たとえば､自然数と整数の個数の比は1:2に収束するように思われますが､実際そうではなく､濃度という観点からすれば1:1といえます｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
ちなみに､先程までの私の論にはひとつ悪いところがありまして｡折れ線と円弧がﾃﾞﾌｫﾙﾄで交わっているところ(A,Bとします)に関しては､円弧と折れ線の｢接点｣になっています｡論ではここの処理を無視しておりました｡ここからは私の勘です｡可算無限回折った線に対しては､A,Bの近傍で非可算無限個の点の一致が確認されてしまうのではないかと思われます｡もちろん確認していないのでどうかは知りませんが､明らかに｢n回目の操作で初めて重なった点｣とは異なる性質を持つでしょう｡もちろん仮にそうであったとしても､あくまで局所的な現象ですから､論全体にはあまり影響のないものと思われます｡その辺りも含めての｢ｶﾞﾊﾞｶﾞﾊﾞ理論｣なのです｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
> たとえば､自然数と整数の個数の比は1:2に収束するように思われますが､実際そうではなく､濃度という観点からすれば1:1といえます｡書き方はともかく､｢一対一対応が付けられる｣という意味であればその通りです｡ > ここからは私の勘です｡可算無限回折った線に対しては､A,Bの近傍で非可算無限個の点の一致が確認されてしまうのではないかと思われます｡もちろん確認していないのでどうかは知りませんが､明らかに｢n回目の操作で初めて重なった点｣とは異なる性質を持つでしょう｡｢可算無限回折った線｣の意味が問題になってきますが､Lの意味だとすれば間違いです｡別な意味を定義すればそういうこともあり得ますが｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
>｢可算無限回折った線｣の意味が問題になってきますが､Lの意味だとすれば間違いです｡とありますが､それは何故でしょうか｡私はそこがわからなかったので､あくまで勘ということにしておいたのですが｡

まいさんのｺﾒﾝﾄ
あ､なんとなく分かりました｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
ちょっと訂正点P1, P2, …の取り方で｢稠密｣を仮定するのはLを定義する前に要請します｡もっとも､要請しなくても非可算無限個の点の(円弧との)｢一致｣は間違いですが｡

みやどさんのｺﾒﾝﾄ
上の訂正に伴ってもう1つ訂正ここまで｢位相｣という概念は使っていません｡ ↓ {Ln}からLを定義する際に｢位相｣という概念は使っていません｡